وبلاگ تخصصی المپیاد فیزیک و هندسه

وبلاگ تخصصی المپیاد فیزیک و هندسه

اینجا وبلاگ المپیاد فیزیک بوده و سه سالی میشد که داشت خاک می‌خورد و خبری نبود توش تا امسال که دوباره چراغشو با اضافه کردن خدای مباحث بشری یعنی "هندسه" برای المپیاد ریاضی‌ها روشن کردیم. هرکس هندسه یا فیزیک نمی‌داند وارد نشود :|

دوره هندسه‌خوانی(۱)

چهارشنبه, ۶ تیر ۱۳۹۷، ۱۰:۱۰ ب.ظ

فصل A : نقاط مهمِ مثلث

در این فصل با نقاط مهم مثلث و خواص آنها آشنا میشیم. با G شروع می‌کنیم یعنی مرکز ثقل یا محل برخورد میانه‌های مثلث. این نقطه رو فعلا با چهار نگاه ترسیمی، کلاسیک، مرکز جرم، بردار تحلیل می‌کنیم:

G مرکزثقل - ترسیمی

میانه متناظر یک راس از مثلث خطی است که از آن راس به وسط ضلع مقابل وصل می‌شود. در شکل زیر BD میانه‌ی متناظرِ راس B است:

مثال 1-1

به کمک خط‌کش و پرگار میانه‌ی متناظر راس B از مثلث ABC را ترسیم کنید.

حل:

ابتدا به کمک پرگار دایره‌ای به مرکزِ A و شعاع AC میزنیم. سپس دایره‌ای به مرکزِ C و شعاع AC میزنیم. خطی که از محل تقاطع دایره‌ها عبور می‌کند عمود‌منصف AC است و از نقطه‌ی D وسط AC عبور می‌کند و به کمک خط‌کش D پیدا می‌شود. از نقطه‌ی B به D وصل می‌کنیم.

مثال 2-1

نشان دهید میانه‌های یک مثلث همرس هستند. به نقطه‌ی همرسی مرکز ثقل مثلث می‌گوییم و آن را با G نشان می‌دهیم.

حل:

فرض کنید BE و CF میانه‌های نظیر B و C باشد. پس AF نصفِ AB و AE نصفِ AC است و طبق دو ضلع و زاویه‌ی بین، دو مثلث AFE و ABC با نسبت 1 به 2 متشابه هستند و EF موازی BC است. پس مثلث‌های EFG و BCG متشابه به همین نسبت هستند پس میانه‌های BE و CF و بطور کلی هر دو میانه از هر مثلثی یکدیگر را به نسبت یک سوم و دو سوم تقسیم می‌کنند. همرسی اثبات شد.(چرا؟)

مثال 3-1

میانه‌های یک مثلث مفروض هستند. مثلث را رسم کنید.

حل:

فرض کنیم D و E و F اوساط اضلاع مثلث باشند. پس مسئله بصورت طبیعی چهار متوازی‌الاضلاعِ برابر مانند شکل زیر ایجاد می‌کند. بنابراین بدیهی‌است AP=CF و DP=BE است. اضلاع مثلث ADP برابر با میانه‌های مثلث ABC است و مثلث ADP با دانستن سه ضلع آن قابل ترسیم است. AD از وسط EF عبور می‌کند بنابراین E مرکز ثقل مثلث ADP است(چرا؟). با دانستن E نقاط B و C بسادگی پیدا می‌شوند(چرا؟).

نتایج:(چرا؟)

یک - مثلث 1 مفروض است. مثلث 2 به این صورت ساخته می‌شود که طول اضلاع آن برابر با طول میانه‌های مثلث 1 است و به همین صورت مثلث i ام به این صورت ساخته می‌شود که طول اضلاع آن برابر با مثلثِ i-1 ام باشد. در این صورت مثلث‌های فردِ 1 و 3 و 5 و ... باهم متشابه‌اند و مثلث‌های زوج نیز باهم. و نسبت تشابه هر دو مثلث متوالی از هر دسته سه چهارم است.

دو - نسبت مساحت مثلث i به مساحت مثلث i-1، سه چهارم است.

مسائل 

1-1 مثلثی رسم کنید که محل دو رأس و محل مرکز ثقل آن مفروض است.

1-2 مثلثی رسم کنید که میانه‌های آن روی سه خط همرس مفروض قرار گیرند. نشان دهید یکی از رأس ها را می‌توان به دلخواه روی یکی از خطوط مفروض برگزید.

1-3 مثلثی رسم کنید که از آن دو ضلع و میانه‌ی متناظر با ضلع سوم مفروض است.

1-4 مثلثی رسم کنید که دو میانه و یکی از اضلاع آن مفروض است.(برای دوحالت مختلف ممکن حل شود)

نظرات  (۰)

هیچ نظری هنوز ثبت نشده است

ارسال نظر

ارسال نظر آزاد است، اما اگر قبلا در بیان ثبت نام کرده اید می توانید ابتدا وارد شوید.
شما میتوانید از این تگهای html استفاده کنید:
<b> یا <strong>، <em> یا <i>، <u>، <strike> یا <s>، <sup>، <sub>، <blockquote>، <code>، <pre>، <hr>، <br>، <p>، <a href="" title="">، <span style="">، <div align="">