وبلاگ تخصصی المپیاد فیزیک و هندسه

وبلاگ تخصصی المپیاد فیزیک و هندسه

اینجا وبلاگ المپیاد فیزیک بوده و سه سالی میشد که داشت خاک می‌خورد و خبری نبود توش تا امسال که دوباره چراغشو با اضافه کردن خدای مباحث بشری یعنی "هندسه" برای المپیاد ریاضی‌ها روشن کردیم. هرکس هندسه یا فیزیک نمی‌داند وارد نشود :|

نویسندگان

دوره هندسه‌خوانی(۲)

چهارشنبه, ۳۱ مرداد ۱۳۹۷، ۰۵:۱۸ ب.ظ

G مرکزثقل - کلاسیک

خبببببب...امروز میخایم نقطه‌ی جذابِ G رو از دید هندسه‌ی کلاسیک بررسی کنیم. دوتا جمله‌ی کلیدی زیر معمولا تو حل سوالای مربوط به G کمکمون میکنه

فرض کنید AM میانه‌ی نظیرِ راس A از مثلث ABC باشه در این صورت:

جمله‌ی اول :‌ G نقطه‌ای است که خطِ AM را به نسبت ۲ به ۱ تقسیم می‌کند بطوریکه AG=2GM

جمله‌ی دوم : اگر AM را به اندازه‌ی خودش امتداد دهیم تا به نقطه‌ی D برسیم، چهارضلعی ABCD متوازی‌الاضلاع است.

مثال ۱-۲

ثابت کنید مرکز ثقل مثلث ABC و مرکز ثقل مثلثی که راس‌های آن اوساط اضلاع AB و BC و AC باشد برهم منطبق‌اند.(به مثلث ایجاد شده از اوساطِ اضلاعِ مثلثِ ABC، مثلثِ میانک یا مثلثِ مکملِ ABC می‌گویند.)

حل:

D و E و F را به ترتیب اوساط اضلاعِ BC و AC و AB نامگذاری می‌کنیم. طبق تشابه مثلث‌های ABC و AEF(دوضلع و زاویه‌ی بین) EF موازی BC است. پس میانه‌ی AD از وسط EF یعنی M می‌گذرد.(شکل زیر را ببینید!) G و 'G را به ترتیب مرکز ثقل مثلث اصلی و مثلث میانک می‌گیریم که هر دو روی خط AD قرار دارد پس کافیست نشان دهیم فاصله‌ی G و 'G از نقطه‌ی D به یک اندازه است. طبق جمله‌ی اول فاصله‌ی DG یک‌سومِ AD و 'DG برابر است با دوسومِ DM و DM نصفِ AD است. پس 'DG=DG.

توضیحات شکل: AD پاره خطِ BC رو نصف میکنه و فقط پاره‌خطی رو نصف میکنه که موازی BC باشه. اگر بجای نصف کردن، خطِ AD پاره خطِ BC رو به هرنسبتی مثلا K تقسیم کنه بازم فقط و فقط خط موازیِ ‌BC رو به همین نسبت جدا می‌کنه.

شهود:

دو خط همرس در A را تصور کنید و فرض کنید B و E دو نقطه روی یکی از خطوط و نقاطِ C و F روی خط دیگر قرار دارند. چهار پاره خط AB AE AC AF ایجاد میگردد که دوتای اول روی یک خط و دوتای دوم روی خط دیگرند. اگر ضرب طول هر دوتا از پاره خط ها برابر با ضربِ طولِ دو پاره خط دیگر شود این چهار نقطه یا(چرا؟)

حالت اول: روی دوخط موازی قرار دارند

حالت دوم: روی دایره قرار دارند(BEFC محاطی است) 

حال تصور کنید E روی امتدادِ AB حرکت کند، در این صورت برای اینکه تساوی ضرب طول‌ها همچنان برقرار بماند باید F بگونه ای جابجا شود که همه‌ی EFها موازی هم باشند و در حالت اول همه‌ی EFها موازی BC هستند و در حالت دوم همه‌ی EF ها را می‌گوییم پادموازیِ BC هستند و خود EF ها موازی یکدیگر هستند و تشکیل چهارضلعی های محاطی BCFE می‌دهند.

قضییه ۱-۲

اگر H محل همرسی ارتفاع‌های مثلث ABC باشد(مرکز ارتفاعیه) و O محل همرسی عمود منصف‌های اضلاع آن مثلث باشد(مرکزِ دایره محیطی مثلث) و M وسط ضلعِ BC باشد، AH=2OM

حل:

می‌دانیم هرنقطه‌ای روی دایره، قطرِ دایره را با زاویه‌ی ۹۰ درجه می‌بیند. پس در شکل زیر زوایای PBC و PAC قائمه هستند. بنابراین PB و PA به ترتیب موازی ارتفاع‌های AD و BE هستند پس APBH متوازی‌الاضلاع است در نتیجه AH=PB=2OM(چرا؟ PB=2OM)

مثال ۲

نشان دهید نقاطِ H و G و O هم‌خط(خط اویلر) هستند که H مرکز ارتفاعیه، G مرکز ثقل، O مرکز دایره‌ی محیطیِ مثلث ABC است و HG=2GO

حل:

طبق قضییه‌ی بالا  AH=2OM و طبقِ جمله‌ی اول AG=2GM و زوایای HAG و OMG برابر هستند پس مثلث‌های AHG و MOG متشابه هستند(ض‌ز‌ض) در نتیجه زوایای HGA و OGM برابر هستند. درنتیجه نقاطِ H و G و O روی یک خط قرار دارند و HG=2GO

مثال ۳

فرض کنید P نقطه‌ی دلخواهی روی دایره‌ی محیطی مثلث ABC باشد و 'P روبرو قطریِ P باشد('PP قطر دایره است). نشان دهید PG از وسطِ 'HP می‌گذرد که H و G به ترتیب مرکز ارتفاعیه‌ و مرکز ثقل مثلث ABC است.

حل:

O وسطِ 'PP پس HO میانه‌ی وارد بر ضلع 'PP از مثلثِ 'HPP که از G می‌گذرد. از مثال قبل می‌دانیم HG=2GO و HO میانه است پس طبق جمله‌ی اول G مرکز ثقل مثلث 'HPP هم هست. بنابراین PG از وسط 'HP عبور می‌کند.

لِم ۱-۲

(قانون کسینوس‌ها) در مثلث ABC طول اضلاع  a , b , c  هستند. نشان دهید :

حل:

ارتفاع AD را رسم می‌کنیم، طبق قضییه‌ی فیثاغورث می‌توان نوشت

مثال ۴

طولِ میانه‌ی نظیر راسِ A را بر حسب اضلاعِ مثلث a , b , c حساب کنید.

حل:

اگر میانه‌ی AM را به اندازه‌ی خودش امتداد دهیم تا به نقطه‌ی D برسیم، ABCD متوازی‌الاضلاع است(جمله‌ی دوم). بنابراین طبق قانون کسینوس‌ها در مثلث ADC و استفاده از قانون کسینوس‌ها در مثلث ABC برای بدست آوردن کسینوس زاویه‌ی A می‌توان نوشت:

که در حالتِ خاصِ مثلث قائمه الزاویه با جمله‌ی میانه‌ی وارد بر وتر نصف وتر است سازگاری دارد.

مثال ۵

خطی به موازات میانه‌ی AM از مثلث ABC رسم می‌کنیم تا خطوطِ BC و AB و AC را به ترتیب در نقاط D و E و F قطع کند. اوساطِ BE و CF به ترتیب K و 'K می‌نامیم. اگر DK و 'DK را به اندازه‌ی خود از سمتِ K و 'K امتداد دهیم تا نقاطِ X و Y حاصل شود، نشان دهید A وسطِ پاره‌خطِ XY است.

حل:

کافیست نشان دهیم 'AKDK متوازی‌الاضلاع است(چرا؟)

AM را به اندازه‌ی خودش امتداد می‌دهیم تا 'A ایجاد شود. طبق جمله‌ی دوم XBDE و ABA'C متوازی‌الاضلاع هستند. امتداد ED خطِ 'BA را در T قطع می‌کند. از T موازی BC خطی رسم می‌کنیم تا XB را در I قطع کند.(شکل زیر) ET موازی 'AA است پس ED=DT و می‌دانیم XBDE متوازی‌الاضلاع است پس XB=DT و این دوخط موازی هستند پس XBTD متوازی الاضلاع است(چرا؟). پس DK موازی BT و در نتیجه موازی AC است. به همین شکل 'DK موازی AB است پس چهارضلعیِ 'AKDK متوازی‌الاضلاع است.

ادامه‌ دارد....

نظرات  (۰)

هیچ نظری هنوز ثبت نشده است

ارسال نظر

ارسال نظر آزاد است، اما اگر قبلا در بیان ثبت نام کرده اید می توانید ابتدا وارد شوید.
شما میتوانید از این تگهای html استفاده کنید:
<b> یا <strong>، <em> یا <i>، <u>، <strike> یا <s>، <sup>، <sub>، <blockquote>، <code>، <pre>، <hr>، <br>، <p>، <a href="" title="">، <span style="">، <div align="">